底面積 $\triangle \mathrm{ABC}$ は
$\dfrac{1}{2} \cdot \mathrm{BC} \cdot \mathrm{AM} =\dfrac{1}{2} \cdot a \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} a =\dfrac{\sqrt{3}}{4} a^2$

よって、正四面体 $\mathrm{O}-\mathrm{ABC}$ の体積 $V$ は、
$V =\dfrac{1}{3} \cdot \triangle \mathrm{ABC} \cdot \mathrm{OH} =\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{4} a^2 \cdot \dfrac{\sqrt{6}}{3} a =\dfrac{\sqrt{2}}{12} a^3$

底面積 $\triangle \mathrm{ABC}$ は
$\dfrac{1}{2} \cdot \mathrm{BC} \cdot \mathrm{AM} =\dfrac{1}{2} \cdot a \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} a =\dfrac{\sqrt{3}}{4} a^2$

よって、正四面体 $\mathrm{O}-\mathrm{ABC}$ の体積 $V$ は、
$V =\dfrac{1}{3} \cdot \triangle \mathrm{ABC} \cdot \mathrm{OH} =\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{4} a^2 \cdot \dfrac{\sqrt{6}}{3} a =\dfrac{\sqrt{2}}{12} a^3$

$\triangle \mathrm{ABM}$ において、三平方の定理より
$\mathrm{AM}^2 =\mathrm{AB}^2-\mathrm{BM}^2 =a^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 =a^2-\dfrac{a^2}{4} =\dfrac{3}{4} a^2$
$\mathrm{AM}>0$ なので、 $\mathrm{AM}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} a$

重心は中線の長さを $2: 1$ に内分するので、 $\mathrm{AH}: \mathrm{HM}=2: 1$
よって、 $\mathrm{AH}=\dfrac{2}{3} \mathrm{AM} =\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} a =\dfrac{\sqrt{3}}{3} a$

$\triangle \mathrm{OAH}$ において、三平方の定理より
高さ $h(\mathrm{OH}$ の長さ）を求める。
$\mathrm{OH}^2=\mathrm{OA}^2-\mathrm{AH}^2 =a^2-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3} a\right)^2 =a^2-\dfrac{1}{3} a^2 =\dfrac{2}{3} a^2$
$\mathrm{OH}>0$ より、 $h=\mathrm{OH}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} a=\dfrac{\sqrt{6}}{3} a$

正三角形の対称性により、 $\mathrm{AH}$ と $\mathrm{BC}$ の交点 $\mathrm{M}$ は $\mathrm{BC}$ の中点となる。
つまり、 $\mathrm{BM}=\mathrm{CM}$
同様に、 $\mathrm{BH}$ の延長線は $\mathrm{AC}$ の中点、 $\mathrm{CH}$ の延長線は $\mathrm{AB}$ の中点と交わるから、点 $\mathrm{H}$ は正三角形 $\mathrm{ABC}$ の重心である。

まずは、頂点 $\mathrm{O}$ から正三角形 $\mathrm{ABC}$ に下ろした垂線の足の位置を考えてみましょう。
高さを求める際は平面を取り出してみるとわかりやすいです。
また、正四面体の体積は三角錐と同様、 $\dfrac{1}{3} \times($ 底面積 $) \times($ 高さ $)$ で求められます。

正三角形 $\mathrm{ABC}$ を底面とし、頂点 $\mathrm{O}$ から下ろした垂線との交点を $\mathrm{H}$ とする。

正三角形 $\mathrm{ABC}$ を真上から見ると、 $\mathrm{H}$ と $\mathrm{O}$ は $1$ 点に重なる。